الحساب المثلثي 2

---

التمرين 1

حل في ℝ المعادلات التالي:

1. cos⁡x= 1 2 و sin⁡x= 1 2
2. cos⁡x= 2 2 و sin⁡x= 2 2
3. cos⁡x= 3 2 و sin⁡x= 5 2

البداية

الجواب

---

التمرين 2

حل في المجال [ 0;2π ] المعادلات :

1. 6cos⁡x+2=5
2. 1+ 2 cos⁡2x=0

البداية

الجواب

---

التمرين 3

حل في ℝ المعادلتين :

1. cos⁡ 2 x− 3 2 cos⁡x+ 1 2 =0
2. 6sin⁡xcos⁡x+6cos⁡x=0

البداية

الجواب

---

التمرين 4

حل في ℝ ثم في المجال [ −5π;−2π ] المعادلات التالية :

1. 2cos⁡x+ 3 =0
2. 4 cos⁡ 2 x−1=0
3. 3−4 cos⁡ 2 x=0
4. tan⁡x=1
5. tan⁡x=−1
6. 3 tan⁡ 2 x−1=0

البداية

الجواب

---

التمرين 5

حل في ℝ ثم في المجال [ 0;2π [ المعادلات التالية :

1. sin⁡(x−π)=−sin⁡( x+ π 3 )
2. sin⁡( 3x )=sin⁡( 5x )
3. sin⁡x=cos⁡x
4. cos⁡ 2 x+2cos⁡x=0
5. 2 cos⁡ 2 x+cos⁡x−3=0
6. 2 cos⁡ 2 x−3cos⁡x+1=0
7. sin⁡ 2 x− cos⁡ 2 x=0

البداية

الجواب

---

التمرين 6

حل في المجال ] −π;π ] المتراجحات التالية :

1. sin⁡x≻ 1 2 و cos⁡≥ 3 2 و tan⁡x≻ 3
2. cos⁡ 2 x− sin⁡ 2 x+cos⁡+1≻0
3. 4sin⁡x+ cos⁡ 2 −5≥0
4. sin⁡ 2 2x+3cos⁡2x−1≤0
5. tan⁡ 2 x+( 3 −1 )tan⁡x− 3 ≺0

البداية

الجواب

---

جواب التمرين 1

تذكير
cos⁡x=cos⁡α تكافئ x=α+k( 2π ) أو x=−α+k( 2π ) حيث k∈ℤ أي S={ α+k( 2π )/k∈ℤ }∪{ −α+k( 2π )/k∈ℤ } 

تذكير
sin⁡x=sin⁡α تكافئ x=α+k( 2π ) أو x=( π−α )+k( 2π ) حيث k∈ℤ أي S={ α+k( 2π )/k∈ℤ }∪{ ( π−α )+k( 2π )/k∈ℤ } 

1. cos⁡x= 1 2 تكافئ cos⁡x=cos⁡ π 3 تكافئ x= π 3 +k( 2π ) أو x=− π 3 +k( 2π ) مع k∈ℤ و عليه فإن : S={ π 3 +k( 2π )/k∈ℤ }∪{ − π 3 +k( 2π )/k∈ℤ }
2. sin⁡x= 2 2 تكافئ x= π 4 +k( 2π ) أو x= 3π 4 +k( 2π ) حيث k∈ℤ و عليه فإن : S={ π 4 +k(2π )/k∈ℤ }∪{ 3π 4 +k( 2π )/k∈ℤ }
3. cos⁡x= 3 2 . هنا S={ } لان 3 2 ≻1

التمرين

---

جواب التمرين 2

1+ 2 cos⁡2x=0	تكافئ cos⁡2x=− 2 2
	تكافئ cos⁡2x=−cos⁡ π 4
	تكافئ cos⁡2x=cos⁡( π− π 4 )
	تكافئ cos⁡2x=cos⁡ 3π 4
	تكافئ 2x= 3π 4 +k( 2π ) أو 2x=− 3π 4 +k( 2π ) حيث k∈ℤ
	تكافئ x= 3π 8 +kπ أو x=− 3π 8 +kπ حيث k∈ℤ

لنبحث عن قيم k حيث 0≤ 3π 8 +kπ≤2π 

0≤ 3π 8 +kπ≤2π	تكافئ	0≤ 3 8 +k≤2
	تكافئ	− 3 8 ≤k≤ 13 8

ومنه فإن k∈{ 0;1 } أي x= 3π 8 أو x= 11π 8 
بنفس الطريقة نبحث عن قيم k حيث 0≤− 3π 8 +kπ≤2π 
نجد x= 5π 8 أو x= 13π 8 
خلاصة: S={ 3π 8 ; 11π 8 ; 5π 8 ; 13π 8 }

التمرين

---

جواب التمرين 3

تذكير
cos⁡x=1 x=k( 2π )⇔ ( k∈ℤ )

تذكير
cos⁡x=−1 x=π+k( 2π )⇔ ( k∈ℤ )

تذكير
cos⁡x=0 x= π 2 +kπ⇔ ( k∈ℤ )

تذكير
sin⁡x=1 x= π 2 +k( 2π )⇔ ( k∈ℤ )

تذكير
sin⁡x=−1 x=− π 2 +k( 2π )⇔ ( k∈ℤ )

تذكير
sin⁡x=0 x=kπ⇔ ( k∈ℤ )

1. ( E ): cos⁡ 2 x− 3 2 cos⁡x+ 1 2 =0
   نعتبر ثلاثية الحدود t 2 − 3 2 t+ 1 2 التي مميزها هو : Δ= 1 4 و جذريها هما : t 2 = 1 2 ; t 1 =1 . نعلم أن تعميلها هو على الشكل التالي : t 2 − 3 2 t+ 1 2 =( t− 1 2 )( t−1 ) و بوضعنا التغيير ،t=cos⁡x نحصل على cos⁡ 2 x− 3 2 cos⁡x+ 1 2 =( cos⁡x−1 )( cos⁡x− 1 2 ) .
   

   ( cos⁡x− 1 2 )( cos⁡x−1 )=0	⇔	cos⁡ 2 x− 3 2 cos⁡x+ 1 2 =0
   cos⁡x= 1 2 أو cos⁡x=1	⇔
   cos⁡x=cos⁡ π 3 أو cos⁡x=cos⁡0	⇔

   
   وهذه معادلات مثلثية أساسية يمكنك البحث عن حلولها بدون مساعدة.
2. 
   

   6sin⁡xcos⁡x+6cos⁡x=0	6cos⁡x( sin⁡x−1 )=0⇔
   	cos⁡x=0⇔ أو sin⁡x=1
   	x= π 2 +kπ⇔ أو ( k∈ℤ )x= π 2 +k( 2π )
   	( k∈ℤ )x= π 2 +kπ⇔

   و عليه فإن : S={ π 2 +kπ/k∈ℤ }

الرمز ⇔ يعني يكافئ

التمرين

---

جواب التمرين 4

ارشاد
لكل x يخالف ( k∈ℤ ) π 2 +kπ لدينا
tan⁡x=tan⁡α ( k∈ℤ )x=α+kπ⇔

( E ):3 tan⁡ 2 x−1=0

لتكن D مجموعة تعريف المعادلة ( E ) ، لدينا :
D={ x∈ℝ/x≠ π 2 +kπ,(k∈ℤ) } .
لكل x من D :

3 tan⁡ 2 x−1=0	( tan⁡x− 3 3 )( tan⁡x+ 3 3 )=0⇔
	tan⁡x= 3 3 ⇔ أو tan⁡x=− 3 3
	tan⁡x=tan⁡ π 6 ⇔ أو tan⁡x=tan⁡( π− π 6 )
	tan⁡x=tan⁡ π 6 ⇔ أو tan⁡x=tan⁡ 5π 6

أتمم...offfffffffffafafaftitititi
الرمز ⇔ يعني يكافئ

التمرين

---

جواب التمرين 6

( x∈[ −π;π ] )sin⁡x≻ 1 2

نحل أولا المعادلة sin⁡x= 1 2 في المجال [ −π;π ]

sin⁡x= 1 2	يكافئ	sin⁡x=sin⁡ π 6
	يكافئ	x= π 6 +k( 2π ) أو ( k∈ℤ )x= 5π 6 +k( 2π )

إذن حلول المعادلة sin⁡x= 1 2 في المجال [ −π;π ] هي . S={ π 6 ; 5π 6 } .

لنمثل حلول المعادلة sin⁡x= 1 2 على الدائرة المثلثية.

لنقارن sin⁡x بالعدد 1 2 على المجال [ −π;π ]

• لكل x من [ −π; π 6 [ ∪] 5π 6 ;π ] لدينا sin⁡x≺ 1 2
• لكل x من ] π 6 ; 5π 6 [ لدينا sin⁡x≻ 1 2
• sin⁡ π 6 =sin⁡ 5π 6 = 1 2

و أخيرا نلخص هذه الدراسة في جدول فنحصل على 


إذن : S=] π 6 ; 5π 6 [